Дважды — в 1993 и 1998 годах — Куртеян признавался лучшим игроком Молдовы.
В 1997 году Александр перешел в «Видзев», где в первый же сезон стал чемпионом Польши, внеся большой вклад в победу команды.
В следующем году полузащитник перешел в петербургский «Зенит» и в первом же матче его реализованный пенальти принес победу сине-бело-голубым над чемпионом страны «Спартаком».
В этом же сезоне Куртеян вошел в список 33 лучших футболистов чемпионата России.
Также в составе «Зенита» полузащитник стал обладателем Кубка России-1998/99.
В 1999 году Куртеян выступал за немецкий «Гамбург».
В составе национально сборной Молдовы Александр Куртеян провел 38 матчей, в которых забил 2 мяча.
Тренерскую карьеру Куртеян начал в 2007 году, став исполняющим обязанности главного тренера «Зимбру».
В 2009 году в качестве ассистента помогал Владимиру Казаченку в «Смене-Зенит».
В 2011 году возглавил молодежную сборную Молдовы, а в сентябре 2014 года ему предложили принять уже главную команды страны.
Затем Куртеян работал в латвийской «Елгаве» и литовском «Паневежисе».
Последним местом работы специалиста был клуб Второй лиги петербургское «Динамо», команду которого он возглавлял с июня 2021 по октябрь 2022 года.